Las matemáticas son una herramienta, quizá la más útil de todas, para resolver problemas científicos y de la vida cotidiana. Y no, las matemáticas no deberían ser el problema en sí, sino la herramienta para solucionarlos. De hecho, para ayudarnos a resolver problemas con ellas, debemos primero conocerlas y saber aplicarlas.

Las matemáticas son también un lenguaje, y por lo mismo, tienen reglas bien definidas para evitar ambigüedades. Como lenguaje, su uso debe ser también conciso y simplificado, por lo que se ha creado una convención general, llamada jerarquía, u orden, de las operaciones matemáticas.

 Jerarquía de las Operaciones Matemáticas

 

 

Primero que nada, quiero dejar en claro todas las posibles causas de error que he visto cuando se habla de este tema:

En primer lugar, cuando se trata de distintos símbolos matemáticos para las mismas operaciones matemáticas, no existe uno que tenga mayor prioridad que otro, o que signifique algo distinto. Menciono esto porque hay personas que argumentan que ÷ y / tienen diferente significado cuando se habla de divisiones de dos números.

Operación Matemática Símbolo (s)
Suma +
Resta -
Multiplicación

⋅  ×  ∗

ab   a(b)   (a)b   (a)(b)  Yuxtaposición

División :   /   ÷   —

 

En segundo lugar, el orden de las operaciones se establece para simplificación evitando tanto como sea posible el uso de símbolos de agrupación, por ejemplo, tomemos este enunciado:

“Ayer compré 3 kg de tomate y 5 kg de cebolla, el total fue $123”

La expresión matemática que representa a este enunciado es:

3t + 5c = 123

y no hay confusión alguna, ya que sabemos exactamente a qué se refiere. Ahora veamos cómo tendríamos que escribir esa expresión si la suma tuviera precedencia sobre la multiplicación:

(3t) + (5c) = 123

Ya que, de lo contrario, 3t + 5c = 123 indicaría que primero se sumen t+5 lo cual complicaría la escritura de la expresión matemática para que represente lo que indica el enunciado.

Incluso, hay quienes mencionan que la multiplicación implícita tiene precedencia sobre la división, como en el caso de ax/by, argumentan que primero se debería de multiplicar ax y dividir el resultado entre by, lo cual es un error ya que cualquier multiplicación debe ser tratada igual, y en este caso se debe proceder de izquierda a derecha.

De hecho, para evitar confusiones, podemos usar el hecho de que la división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, que a/b = a*(1/b).

  

Jerarquía de las Operaciones, Historia

  • En el siglo 16, la convención era que la multiplicación precedía a la suma y a la resta. En esta época no se usaba aún la potenciación.
  • En 1982, en Mental Arithmetic, M. A. Bailey aconseja evitar expresiones que contengan ambas operaciones ÷ y ×.
  • En 1898, en Text-Book of Algebra, escrito por G. E. Fisher e I. J. Schwat, la expresión a÷b×b es interpretada como (a÷b)×b.
  • En 1907, en High School Algebra, Elementary Course, de Slaught y Lennes, se recomienda que primero se desarrollen las multiplicaciones, en cualquier orden, y luego las divisiones, conforme aparezcan de izquierda a derecha.
  • En 1910, en First Course of Algebra, de Hawkes, Luby y Touton, los autores escriben que ÷ y × deberían tomarse en el orden que aparecen.
  • En 1912, en First Year Algebra, de Webster Wells y Walter W. Hart, se indica que: “Las operaciones deben desarrollarse en el siguiente orden: primero todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, luego todas las sumas y restas, también de izquierda a derecha”.
  • En 1913, en Second Course in Algebra, de Webster Wells y Walter W. Hart, se menciona: “Está acordado que las operaciones bajo el símbolo radical o símbolos de agrupación se deben desarrollar antes que todos los demás; después, todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y al final, todas las sumas y restas, también de izquierda a derecha”.
  • En 1917, en "The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools, Mathematical Gazette 8, 238", se recomienda el uso de paréntesis para evitar ambigüedades en esos casos.
  • En A History of Mathematical Notations (1928-1929), Florian Cajori escribió (vol. 1, page 274), “Si una operación aritmética o algebraica contiene ÷ y ×, no existe, en el presente, un acuerdo de cuál signo debería usarse primero.
  • Los libros de texto modernos parecen estar de acuerdo en que todas las multiplicaciones y divisiones deben desarrollarse en orden, de izquierda a derecha. Sin embargo, en el libro Florida Algebra I, publicado por Prentice Hall en el 2011, un problema pide a los estudiantes evaluar 3st2÷st+6 para valores dados de las variables, y la respuesta marcada como correcta en el libro se obtiene al dividir entre st. Un representante de la editorial ha reconocido que esta expresión es ambigua y prometió que se usaría (st) en la siguiente revisión.

Enlaces:

http://mathforum.org/library/drmath/view/54341.html

https://www.nctm.org/Publications/Mathematics-Teaching-in-Middle-School/Blog/Internalizing-the-Order-of-Operations/

http://mathforum.org/library/drmath/view/66614.html